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直播帶貨簡歷模板?直播間可以帶精選聯盟的貨嗎

2022-02-10 來源: 貝萊課堂

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線性時不變系統理論


線性非時變系統理論俗稱系統理論,源自應用數學,直接在核磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統對任意輸入信號的響應。雖然這些系統的軌跡通常會隨時間變化(例如聲學波形)來測量和跟蹤,但是應用到圖像處理和場論時,系統在空間維度上也有軌跡。因此,這些系統也被稱為"線性非時變平移",在最一般的范圍理論給出此理論。在離散(即采樣)系統中對應的術語是"線性非時變平移系統"。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個很好的例子。


顧名思義,線性非時變系統必須同時滿足線性和非時變性:




LTI系統的理論的基本結論是任何LTI系統都可以完全用一個單一方程來表示,稱為系統的沖激響應。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的沖激響應的卷積。這種分析方法通常稱為"時域"觀點。相同的結果對于離散時間線性移位不變系統也成立,其中信號為離散時間取樣信號,并且卷積對序列定義。


同理,任何LTI系統的特征可由"頻域"的系統傳遞函數刻畫,它是系統沖激響應的拉普拉斯變換(在離散時間系統的情況下為Z變換)。由于這些變換的性質,該系統在頻域的輸出是傳遞函數與輸入的變換的乘積。換句話說,時域中的卷積相當于頻域中的乘法。


對于所有的LTI系統中,本征函數和所用變換的基函數,是復指數函數。這即是說,如果一個系統的輸入是復波形formula_21,復振幅為formula_22,復頻率為formula_23,輸出將是輸入的復常數倍,表示為新復振幅formula_24的式子formula_25。比值formula_26是頻率formula_23的傳遞函數。


因為是正弦的復指數與復共軛頻率的總和,如果輸入到該系統是一個正弦波,則系統的輸出也將是一個正弦波,或許具有不同振幅和不同相位的,但總是與相同的頻率在達到穩定狀態。LTI系統不能產生頻率成分中沒有的輸入。


LTI系統理論善于描述了許多重要的系統。至少相對于時間變化的和/或非線性的情況下最LTI系統被認為是“容易”來分析。任何可以被模擬為常系數線性齊次微分方程系統是LTI系統。這類系統的實例是電路由電阻器S,電感s和電容器S(RLC電路)的。理想的彈簧 - 質量 - 阻尼系統也是LTI系統,并且在數學上是等效的RLC電路。


最LTI系統概念都是連續時間和離散時間(線性移位不變)的情況下相似。在圖像處理中,時間變量被替換為2空間變量,時間不變性的概念被替換為二維移不變性。當分析濾波器組s和MIMO系統中,常常是有用考慮的信號矢量。


線性系統不是時不變可以用其他方法來解決,如格林函數方法。同樣的方法時,必須使用問題的初始條件是不為空。


輸入信號為x(t),輸出信號為y(t)的線性時不變系統的行為可以用卷積積分描述:


其中formula_28為當輸入信號formula_29時系統的沖激響應。因此formula_30與輸入函數formula_31的加權平均成正比。權重函數為formula_32,就是平移了formula_33的量。隨著formula_34改變,權重函數會突出輸入函數的不同部分。當對所有非負formula_35,formula_36均為零時,formula_30只由時間formula_34之前的formula_39值決定,而系統稱為因果系統。


要理解為何LTI系統的輸出可以用卷積產生,就令記號formula_40表示變量formula_41和常量formula_35的函數formula_43。用簡潔的記號formula_44表示formula_45。那么就會有一個從輸入函數formula_46轉換到formula_47的連續時間系統。在一般情況下,輸出的每一個值可以對應輸入的每一個值。這個概念表示為:


其中formula_49為對時間formula_34的變換算子。在典型的系統中,formula_30很大程度上取決于formula_34臨近時間的formula_39的值。除非變換本身隨著formula_34變化,否則輸出函數就是常數,系統也沒有意義。


對一個線性系統,formula_55必須滿足:


而時不變系統的要求是:


在這種記號下,我們可以把沖激響應寫成formula_56。


同樣:


將此結果代入卷積積分:


該形式為formula_58且formula_59情形下等式右側的形式。<br>

那么允許這個延拓:


綜上所述,輸入函數formula_61可以用中描述的時移沖激函數的連續統的“線性”組合來表示。系統的線性特性允許系統由相應的以相同方式組合的沖激響應的連續統來表示系統的響應。而時不變特性允許用卷積積分來表示這種組合。


上述數學運算可以用一個簡單的圖形模擬。


本征函數是算子輸出為經過放縮的相同函數的函數。即,

其中"f"是本征函數而formula_63是特征值(一個常數)。


指數函數formula_64(其中formula_65)是線性時不變算子的本征函數??梢杂靡粋€簡單的證明來說明這個概念。假設輸入是formula_66。系統沖激響應formula_67的輸出就是


由卷積的交換性質,上式等價于


其中標量

只與參數"s"有關。


因此,系統的響應是一個縮放的輸入。特別地,對任意I formula_65,系統輸出為輸入formula_21和常量formula_73的乘積。因此,formula_64是LTI系統的本征函數,對應的特征向量為formula_73。


也可以用復指數直接導出LTI系統的本征函數。


我們令formula_76為某復指數,formula_77為它的時移版本。


對常數formula_78由線性得formula_79。


由formula_80的時不變性有formula_81。


所以formula_82。令formula_83并重新命名就得到:


即復指數formula_85作為輸入,將得到一個相同頻率的復指數作為輸出。


本征函數的指數函數性質對分析和了解LTI系統都是很有用處的。拉普拉斯變換 


就是從沖激響應得到特征值的方法。純正弦(即形式為formula_87的指數函數,其中formula_88,formula_89)尤其要關注。通常稱這些為復指數,即使參數為純虛數。傅里葉變換formula_90給出了純復正弦的特征值。formula_73與formula_92都可以稱作"系統函數"、"系統響應"或"傳遞函數"。


拉普拉斯變換通常用于單邊信號的背景下,即"t"小于某個值時信號的所有值為零。通常,“起始時間”設置為零,為方便起見,不失一般性,變換都從零到無窮積分(上述變換的下限為負無窮的積分稱作雙邊拉普拉斯變換)。


傅里葉變換是用來分析系統處理無窮限信號的,如調制的正弦信號,即使它不能直接應用在非的輸入與輸出信號上。拉普拉斯變換實際在這些信號初始時間之前全為零的信號可以直接使用,即便他們不是平方可積的,比如平穩系統。傅里葉變換通常通過維納-辛欽定理用在無窮信號光譜上,即使在信號的傅里葉變換不存在的時候。


由于這兩種變換的卷積性質,在變換存在的條件下,能夠給出系統輸出的卷積可以轉換為變換域的乘積


計算變換、乘積和反變換不僅比原始的卷積容易,而且還能從系統響應了解系統的行為??梢杂^察系統函數 |"H"("s")| 的模來看出輸入formula_94是否能夠"通過"這個系統或被此系統"拒絕"或"削弱"(不通)。




因果性和穩定性是描述系統的兩個重要性質。如果獨立變量是時間,那么因果性是必須的,但并不是所有系統的獨立變量都是時間。例如,一個處理靜止圖像的系統不需要具備因果性。非因果系統可以建立,并可以在許多情況下發揮作用。即使是非實數系統也可以構建,并且在很多場合也是非常有用的。


如果系統輸出只與當前以及過去的輸入有關,那么該系統就是因果系統。因果性的充分必要條件是


其中formula_67是沖激響應。由于拉普拉斯變換的逆變換不唯一,所以通常不能根據拉普拉斯變換確定系統的因果性。只有在確定了系統的收斂域之后才能確定該系統的因果性。


如果系統對每個有界輸入來說輸出都是有界的,那么系統就是有界輸入有界輸出穩定的(BIBO穩定),用數學方法表示就是如果每個輸入滿足


就會導致輸出滿足


(也就是說formula_17的是有界的意味著formula_18的最大絕對值也是有界的),那么系統就是穩定的。系統穩定的充分必要條件是沖激響應formula_67是在L中(其L范數有限)的:


在頻域中,收斂域必須包含虛軸formula_113。


作為一個例子,沖激響應等于Sinc函數的理想低通濾波器不是BIBO穩定的,因為Sinc函數不具有有限的L范數。因此,對于一些有界輸入,理想低通濾波器的輸出是無界的。特別地,若對formula_114的輸入為零,并且在formula_115時等于正弦信號的截止頻率,則在非過零時刻輸出是無界的。


幾乎所有的連續時間系統都能找到與之對應的離散時間系統。 


在許多情況下,離散時間(DT)系統實際上是較大的連續時間(CT)系統的一部分。例如,數字錄音系統記錄模擬聲音、數字化、或許對數字信號進行處理、然后重放模擬信號。


正式場合下所研究的離散時間信號幾乎總是連續時間信號的均勻采樣。如果formula_17是一個連續時間信號,那么模數轉換器將把它轉換成離散時間信號formula_117,

其中"T"是采樣周期。為了保證離散信號能夠忠實地表示輸入信號,非常重要的一點就是需要限制輸入信號的頻率范圍。根據采樣定理,離散時間信號所包括的最大頻率范圍是formula_119。其它頻率都成為這個范圍的混疊信號。


我們從一個沖激響應是二維函數的時變系統開始來看看時不變這個條件是如何將系統降到一維的。例如,假設輸入信號是 formula_117,其中n是整數,即formula_121。線性算子formula_122表示系統在輸入信號上的操作,對于這個index set來說合適的算子是一個二維函數


由于formula_122是一個線性算子,系統在輸入信號formula_117上的作用就是下面累加和所表示的線性變換


如果線性算子formula_122也是時不變的,那么


如果取


那么


為了簡化通常我們丟棄formula_131的第二個參數零,這樣重疊積分現在變成了濾波中常見的卷積和


這樣,卷積和表示一個線性時不變系統在任意輸入函數上所起的作用,對于類似的有限維參數,參見輪換矩陣


如果我們給系統輸入一個離散δ函數,由于δ函數是一個理想的脈沖,所以系統的線性時不變變換就是沖激響應。我們用下式表示:


(通過δ函數的 sifting特性)。


注意


這樣formula_135就是系統的沖激響應。


這個沖激響應可以按照下面的方法用于得到"任意"輸入信號的響應。再次應用formula_136的過濾特性,我們將輸入信號寫成δ的累加和:


輸入經過系統變換,


系統的所有信息都包含在沖激響應formula_135中。


一個簡單的線性時不變算子的實例是延時算子formula_147。 


導數取Z變換,就變成一個簡單的與Z相乘:


差分的Z變幻如此簡單也在一定程度上表明了Z變換的用途。


另外一個簡單的線性時不變算子是平均算子


由于和是線性的所以它也是線性的:


它也是時不變的:


因果性和穩定性是系統的重要特性。與連續時間系統不同,我們可以實現非因果的離散時間系統。通過在系統中加入延時就很容易將非因果有限沖激響應系統變成因果系統。甚至可以構建非因果的無限沖激響應系統(參見Vaidyanathan and Chen, 1995)。我們也可以構建不穩定的系統,這種系統在很多場合都很有用,甚至也可以構建在很多情況下非常有用的non-real系統。


如果系統的輸出只與當前以及過去的輸入有關,那么系統就是因果系統。因果性的必要且充分條件是


其中formula_135是沖激響應。由于逆變換不是唯一的,所以通常很難從Z變換確定系統的因果性。如果收斂域確定,系統的因果性也就隨之確定。


如果離散系統每個有界的輸入,輸出都是有界的那么系統就是有界輸入輸出穩定(BIBO穩定)。用數學方法表示就是


并且


(也就是說formula_117和formula_165的最大絕對值都是有限的),那么系統就是穩定的。必要且充分條件就是沖激響應formula_135滿足


在頻域中,收斂域必須包含單位圓formula_168。



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